元旦と元日の違いは、
元旦：元日の朝
元日：1月1日
です。なので「元日の朝」とは言えますが「元旦の朝」とは言えません。
ここで「一年の計は元旦にあり」ということわざを振り返ってみます。
「計」とは一年の計画のことになります。
（計は一年の「合計」という意味ではないので、「元旦の過ごし方が今後の1年間につながる」という意味ではありません）
つまり「一年の計画は元日の朝に立てるべきですよ」ということで、本来は朝のうちに立てなければならないそうです。
・・・期限は元日（1月1日）中ではなく「朝」という厳しいものでした。
本当にまず最初に計画を立てるべし、ということを強く言っていることわざだということを理解しました。
もう元旦の夜になってしまい、元旦に1年の計画を立てていないのですが・・・元日中には計画を立てようと思います。
＜補足＞
「一日の計は朝にあり」という言い方もあり、これはよくわかります、一日なら当然朝計画すべきです。
ただ一年の計画であれば・・・元旦に限定せず元日でもいいと思います。「一年の計は元日にあり」としてしまっても・・・ダメでしょうか？
いや、むしろ「一年の計は正月にあり」にしてしまえば・・・と、期限をどんどん延ばすのは政治家っぽくなってしまうので、やはり元日に計画するのが落としどころかと思います。